Решение методом суперпозиции к расчету электрических цепей. Метод узловых напряжений основные теоретические положения

4. Принцип и метод наложения

Принцип наложения (суперпозиции) является выражением одного из основных свойств линейных систем любой физической природы и применительно к линейным электрическим цепям формулируется следующим образом: ток в какой-либо ветви сложной электрической цепи равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности.

Использование принципа наложения позволяет во многих схемах упростить задачу расчета сложной цепи, так как она заменяется несколькими относительно простыми цепями, в каждой из которых действует один источник энергии.

Из принципа наложения следует метод наложения, применяемый для расчета электрических цепей.

При этом метод наложения можно применять не только к токам, но и к напряжениям на отдельных участках электрической цепи, линейно связанных с токами.

Принцип наложения нельзя применять для мощностей, т.к. они являются не линейными, а квадратичными функциями тока (напряжения).

Принцип наложения не применим и к нелинейным цепям.

Рассмотрим порядок расчета методом наложения на примере определения токов в схеме рис. 5.

Выбираем произвольно направление токов и наносим их на схему (рис. 5).

Если бы предлагаемая задача решалась любым из методов (МЗК, МКТ, МУН), то необходимо было бы составлять систему уравнений. Метод наложения позволяет упростить решение задачи, сведя его фактически к решению по закону Ома.

Разбиваем данную схему на две подсхемы (по количеству ветвей с источниками).

В первой подсхеме (рис. 6) считаем что действует только источник напряжения, а ток источника тока J=0 (это соответствует разрыву ветви с источником тока).

Во второй подсхеме (рис. 7) действует только источник тока. ЭДС источника напряжения принимаем равной нулю E=0 (это соответствует закорачиванию источника напряжения).

Указываем направление токов на подсхемах. При этом следует обратить внимание на следующие: все токи, указанные на исходной схеме, должны быть указанны и на подсхемах. Например, в подсхеме рис.6 сопротивления и включены последовательно и по ним протекает один и тот же ток. Однако на схеме необходимо указывать токи и .

Расчет для схемы (рис. 6) можно выполнить по закону Ома.

.

Токи в параллельных ветвях определяем по формуле разброса

.

Определяем токи в подсхеме, представленной на рис.7. Заменив предварительно параллельно соединенные сопротивления и эквивалентным , получим схему (рис. 8).

По формуле разброса определяем токи и

По частичным токам подсхем (рис. 2.6 и 2.7) определяем токи исходной схемы (рис. 5) как алгебраическую сумму частичных токов.

.

При этом ток записывается со знаком «минус», т.к. его направление на подсхеме противоположно направлению тока в исходной схеме

.

Направления токов и на подсхемах совпадают с направлением тока исходной схемы. Аналогично определяем остальные токи.

Тока, а реакция – это токи ветвей и напряжения между какими - то точками схемы. Поэтому любой ток или напряжение в линейной цепи с несколькими источниками равен сумме частичных значений тока или напряжения, вызванных действием каждого источника в отдельности. Свойство наложения (суперпозиции) справедливо только для токов и напряжений. Для мощностей этот принцип не выполняется, так как мощности...

Неровностей на поверхнос­ти анода, т.е. происходит его полировка. 2 Расчётная часть 2.1Задание на курсовую работу Расчет разветвлённой электрической цепи постоянного тока. Для заданной электрической цепи необходимо: 1) Записать систему уравнений по законам Кирхгофа (без расчетов); 2) Определить все токи и...

Метод наложения применяется для цепей со смешанным соединением приемников, имеющих несколько источников энергии. Он основан на принципе суперпозиции, который применительно к электрической цепи гласит:

если в цепи действует несколько источников энергии, то токи в ее ветвях можно рассматривать как алгебраическую сумму токов от действия каждого источника в отдельности.

При расчете цепей по методу наложения поочередно исключают все источники ЭДС кроме одного и определяют токи в ветвях, эти токи называются частичными или парциальными.

Рис. 1.12. Схемы цепи для определения токов по методу наложения: (а) – исходная, (б) – от ЭДС Е 1 , (в) – от ЭДС Е 2 , (г) – для определения эквивалентного сопротивления цепи

Для цепи, представленной на рис. 1.12а исключаем ЭДС Е 2 , тогда цепь принимает вид, представленный на рис. 1.12б. Направления парциальных токов,ипредставлены в соответствии с направлением ЭДС Е 1 . Парциальные токи находим по методу эквивалентного преобразования. Приемники R 2 и R 3 включены параллельно, их можно заменить одним эквивалентным с сопротивлением

.

После замены цепь принимает вид, представленный на рис. 1.12г, ее элементы включены последовательно и ток I 1 ’ можно определить по закону Ома

.

Напряжение на участке R 23 можно найти по закону Ома для участка цепи

.

Зная напряжение U 23 легко определить токии

.

Парциальные токи от действия источника Е 2 находятся аналогично, пользуясь схемой 1.12 в.

Токи в ветвях исходной цепи находятся алгебраическим суммированием соответствующих парциальных токов:

и , и , и .

Пусть парциальные токи имеют следующие значения:

= 17A,= 7A,= 10A,= 2A,= 6A,= 4A.

Ток , образованный первым источником Е 1 течет по схеме снизу вверх, а ток, образованный вторым источником Е 2 , течет по схеме сверху вниз, рис. 1.12б и рис. 1.12в. Причем>, следовательно

I 1 =–= 17 – 2= 15 A

и имеет направление большего тока , т.е. по схеме снизу вверх. Аналогично находятся токи I 2 и I 3

I 2 =–= 7 – 6 = 1 A,

I 3 =+= 10 + 4 =14 A.

1.11. Понятие о балансе мощностей.

Независимо от того, каким методом проводился расчет цепи, для проверки правильности расчета составляется баланс мощностей.

Согласно закону сохранения энергии сумма мощностей, развиваемых всеми источниками энергии, включенных в цепь, равна сумме мощностей отдаваемых приемником и мощностей потерь внутри источника.

где i – номер ветви цепи,

n – число ветвей

Произведение EiIi берется со знаком “+” если направления ЭДС источника Е и тока I в i – ветви цепи совпадают, если не совпадают, то произведение EiIi берется со знаком “–“. Физически знак “–“ означает, что данный источник энергии работает приемником. При правильно рассчитанных токах баланс мощностей должен сходиться с точностью до 2%.

1.12 Потенциальная диаграмма.

Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциала вдоль какого-либо замкнутого контура цепи. Потенциальная диаграмма строится в прямоугольной системе координат, в которой по горизонтальной оси откладываются значения сопротивлений между i-точкой контура и произвольно выбранной точкой, потенциал которой принят равным нулю.

Рис. 1.13. Контур сложной электрической цепи (а) и его потенциальная диаграмма (б)

По вертикальной оси откладываются значения потенциалов всех точек контура, в которых соединены два любых его элемента, рассчитанные относительно нулевой точки. При расчете потенциалов следует помнить, что в пассивном элементе стрелка тока указывает направление уменьшения потенциала. Поэтому при переходе через пассивный элемент, например резистор, потенциал понижается на величину падения напряжения в нем, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал повышается на величину падения напряжения. Стрелка ЭДС, наоборот, указывает направление увеличения потенциала. Поэтому при переходе через источник энергии с ЭДС Еi и внутренним сопротивлением r i = 0 потенциал скачком увеличивается на величину ЭДС источника Еi, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал скачком уменьшается на величину ЭДС источника Ei. Рассмотрим расчет потенциалов и построение диаграммы на примере контура, представленного на рис. 1.13 а.

Пусть E 1 = 5 В, Е 2 = 10 В, Е 3 = 15 В, R 1 = 2 Ом, R 2 = 5 Ом, R 3 = 3 Ом, R 4 = 8 Ом. Расчетные значения токов I 1 = 1,5 А, I 2 = 2,8 А, I 3 = 2,8 А, I 4 = 0,7 А.

Потенциал точки 0 примем равным нулю  0 = 0 R= 0. Потенциал точки “а” выше потенциала точки “0” на величину I 1 R 1 , т.к. направление обхода не совпадает с направлением тока I 1 , т.е.. Сопротивление между точкой “0” и точкой “а” R 0а равно сопротивлению резистора R 1 , т.е. R 0а = 2 Ом.

Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Базисный узел в общем случае выбирается произвольно, потенциал этого узла принимается равным нулю. Разность потенциалов рассматриваемого и базисного узлов называется узловым напряжением.

Положительное направление узловых напряжений указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Число уравнений, составляемое по методу узловых напряжений, равно

где

– собственная проводимость узла .

–взаимная проводимость ветви, соединяющей узлы

.

Собственная проводимость узла равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

Взаимная проводимость равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих данные узлы.

Выражение, стоящее в правой части уравнений системы, называют «узловой ток».

Узловой ток (теоретическое понятие) – это алгебраическая сумма произведений

иисточника тока (если они есть) всех ветвей, примыкающих к рассматриваемому узлу. Слагаемое входит в выражение со знаком «+», если Э.Д.С. и источник тока направлены к узлу. В противном случае – ставится знак «–».

Из системы (4.2) видно, что собственные проводимости входят в уравнения со знаком «+», а взаимные проводимости – со знаком «–».

Алгоритм расчета электрических цепей по методу узловых напряжений:

1) Выбираем базисный узел. Желательно нулевой потенциал присвоить тому узлу, где сходится большее количество ветвей.

Запомнить! Если в составе цепи имеется одна или несколько ветвей, содержащих идеальные Э.Д.С. (сопротивление таких ветвей равно нулю), то за базисный принимают один из узлов, между которыми находится ветвь с идеальной Э.Д.С.

2) Составляется система уравнений для неизвестных узловых напряжений в соответствии с общей структурой этих уравнений (4.2).

3) Решая данную систему, находят напряжения узлов относительно базиса.

4) Токи ветвей определяют по обобщенному закону Ома:

.

Частным случаем метода узловых напряжений является метод двух узлов . Если схема содержит только два узла, то в соответствие с методом узловых напряжений (в отсутствие идеальных Э.Д.С.) составляется только одно уравнение:

Примеры расчета линейных электрических цепей методом узловых напряжений

Пример 4.1

Решение

Цепь содержит три узла, ветви с идеальными Э.Д.С. отсутствуют. Число необходимых уравнений, определяемое по формуле (4.1), равно двум. В качестве базисного выбираем третий узел.

Система уравнений имеет вид:

,

;

;

;

;

.

В результате решения определяем:

;

.

Токи ветвей определяем по обобщенному закону Ома:

;

;

;

.

Правильность решения задачи целесообразно проверить составлением и расчетом баланса мощностей.

Уравнение баланса мощностей:

.

Мощность приемников равна мощности потребителей, т.е. баланс мощностей выполняется.

Проверим выполнение второго закона Кирхгофа для внешнего контура.

Второй закон Кирхгофа.

Ещё один метод расчета линейных электрических цепей называется методом наложения. В его основе лежит принцип наложения, который можно сформулировать следующим образом:ток в любой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из Э.Д.С. схемы в отдельности.

Н

а исходной схеме (рис 2.2а) произвольно выбираем направления токов. Рассчитываем цепь от действия Э.Д.С. Е 1 , для чего мысленно закорачиваем (убираем) все остальные Э.Д.С., в нашем случае Э.Д.С. Е 2 (рис 2.2б).

Рассчитываем цепь от действия Э.Д.С. Е 2 , для чего мысленно закорачиваем Э.Д.С. Е 1 (рис 2.2в)

Действительные токи находим как алгебраическую сумму найденных частичных токов. Значения токов иберём со знаком минус, если они направлены в другую сторону, нежели ток на исходной схеме.

Входные и взаимные проводимости ветвей

На рис. 2.3а изображена скелетная схема пассивной цепи. В каждой её ветви есть сопротивление. Выделим две схемы ветвиm и k. Поместим в ветвь m Э.Д.С. (рис 2.3б). Выберем контуры в схеме так, чтобы k- ветвь входила только в k- контур, а m- ветвь, только в m-контур. Э.Д.С. E m вызовет точки в ветвях m и k.

Коэффициенты q имеют размерность проводимости. Коэффициент q mm называют входной проводимостью ветви m, q km – взаимной проводимостью.

Для расчёта проводимостей составляют уравнения по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы ∆ и по нему необходимые алгебраические дополнения.

Теорема взаимности

Теорема взаимности формируется таким образом: для любой линейной цепи с одним источником Э.Д.С. ток I k в ветвях, вызванный Э.Д.С. E m , находящийся в m-ветви, будет равен току I m в m-ветви, вызванному Э.Д.С. E k (численно равной E m) находящейся в k ветви.

Другими словами, сущность принципа взаимности состоит в следующем. Пусть имеется электрическая схема произвольной конфигурации с единственным источником Э.Д.С. E m , который действует в m-ветви в направлении от точки а к точке в (рис 2.4а) и создаёт в k-ветви с сопротивлением R k ток I k , направленный от точки с к точке d . Такой же источник Э.Д.С. E k = E m , включенный в k-ветвь и действующий от точки c к точке d (рис 2.4б) создаёт в m-ветви с сопротивлением R m = R k ток I m , направленный от точки а к точке b и равный току I k .

На рис. 2.4 пассивным четырёхполюсником (прямоугольником с буквой П) обозначена вся остальная часть схемы, не содержащая источников Э.Д.С. и источников тока.

Токи в ветвях m и k.

Можно отметить, что теорема взаимности справедлива не только для токов, но и для напряжений.

Метод узловых потенциалов

Втех случаях, когда в анализируемой схеме число узлов без единицы меньше числа независимых контуров, метод узловых потенциалов является более экономичным по сравнению с методом контурных токов.

Суть этого метода состоит в определении напряжений между узлами сложной электрической цепи путём решения системы уравнений, составленных на основе первого закона Кирхгофа. После нахождения неизвестных потенциалов, используя закон Ома, определяют токи во всех ветвях, и выясняют их истинное направление.

Потенциал любой одной точки схемы можно принять равным нулю, так как ток в ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов на концах ветви.

При этом число неизвестных уменьшается с n до n -1.

Рассмотрим применение данного метода для расчета цепи, приведённой на рис. 2.9, которая имеет большое число ветвей (7) и сравнительно небольшое число узлов (4).

Если узел 0 мысленно заземлить, то есть принять его потенциал равным 0, то неизвестными будут потенциалы только трёх узлов:

.

П

ервоначально в исходной схеме произвольно задаём направления токов, которые обозначаются с двумя индексами: первый индекс определяет номер узла, от которого течет ток, а второй - номер узла, к которому ток подтекает.

- сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1;

- проводимость ветви, находящейся между узлами

1 и 2, принято всегда брать со знаком «-».

- узловой ток первого узла, равный алгебраической сумме токов, сходящихся в узле. В образовании узлового тока n-й ветви участвуют лишь те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники Э.Д.С. и источники тока. Если Э.Д.С. и ток источника тока направлены к узлу, то ставится знак «+», в противном случае «-». После решения системы уравнений определяют токи в ветвях по закону Ома,