Резонансная частота в параллельном контуре. Параллельный колебательный контур

Если источник сигнала подключен параллельно элементам L и С, то контур называется параллельным.

При параллельном включении напряжение действующее на L и С одно и тоже, а токи протекающие в L и С разные.

В идеальном контуре без потерь в случае равенства Х С и Х L (І С и І L), суммарный ток обращается в 0, то есть сопротивление контура приближается к бесконечности.

Если же частота сигнала спадает, то Х С становится больше чем X L , следовательно I С < I L , то есть появляется ток отстающий на 90° от напряжения и следовательно сопротивление контура можно рассматривать как индуктивность.

В реальном контуре присутствуют потери сосредоточенные главным образом в катушке L. При наличии потерь сопротивление контура на резонансной частоте уже не бесконечно.

С учетом потерь, даже при резонансе (X L = Х С), ток в контуре не равен 0, а равен активной составляющей тока в цепи катушки (I K = I L + I R).

Если частоту сигнала изменить в сторону увеличения, то сопротивление X L возрастет, а Х С спадет. Следовательно растет, a уменьшится.

Ток контура при этом тоже растет и приобретает емкостной характер (угол сдвига фаз φ между напряжением и током равен 0), общее сопротивление контура спадает, а реактивное увеличивается.

Если частоту уменьшать, то X L уменьшится, а Х С возрастет следовательно І L возрастет, а І С уменьшится. Ток общий и становится индуктивным (φ < 0). Резонансный ток растет, следовательно общее сопротивление (Z) контура уменьшается, а реактивное растет.

Если частоту сильно изменить , то X начинает убывать, так как при уменьшении частоты индуктивное сопротивление спадает, а при увеличении частоты емкостное сопротивление спадает. Таким образом на резонансной частоте контура сопротивление контура (Z) наибольшее и имеет активный характер (φ между напряжением и током равно 0), а при изменении частоты оно быстро уменьшается и приобретает комплексный характер.

В параллельном контуре как и в последовательном условием резонанса является равенства реактивных сопротивлений.

Следовательно для параллельного контура остаются такие выражения для f 0 , волнового сопротивления и добротности.

В отличии от последовательного контура в параллельном контуре добротность показывает во сколько раз ток в элементах контура больше тока потребляемого источника сигнала.

Математическое выражение для резонансного сопротивления параллельного контура (Z 0) выводится из условия, что ток в индуктивной ветви I К определяется комплексным сопротивлением в этой ветви.

тогда (так как

Резонансное сопротивление параллельного контура.

Так как резонансное сопротивление контура зависит от частоты, то его можно использовать для выделения сигнала нужных частот.

Кроме последовательного и параллельного контуров, называемых контурами 1-го вида, в радиотехнике часто применяют контуры П-го и Ш-го вида.

Особенностью контуров П-го вида является то, что у них есть две резонансные частоты f 0посл и f 0пар.

Например в контуре с двумя индуктивностями можно определить такую частоту (ω посл), на которой L 2 и С образуют последовательный колебательный контур, но на частотах ниже ω посл общее реактивное сопротивление цепи L 2 C(x) имеет емкостной характер. Следовательно вместе с L 1 цепь L 2 C образует параллельный колебательный контур. Частота последовательного резонанса определяется из условия:

параллельного резонанса из условия:

Аналогично в контуре с двумя конденсаторами в цепи: C 2 L наблюдается последовательный резонанс при условии ωL = 1/ωС 2 и параллельный резонанс при условии .

Эквивалентное сопротивление контуров П-го и Ш-го вида (R 0e), при параллельном резонансе меньше, чем у контура 1-го вида с теми же элементами.

Например если в контуре П-го вида с двумя катушками L 1 = L 2 = L, то R 0e для контура 1-го вида , а для контура П-го вида будет , то есть в четыре раза меньше.

Если обозначить отношение - коэффициент включения, то получится:

где р ≤ 1 - коэффициент включения.

Это соотношение справедливо также для контура Ш-го вида с двумя конденсаторами только в этом случае:

Из выражения * видно что для контура П-го и Ш-го вида шунтирующее действие внешней нагрузки ослабляется в 1/р 2 раз.

Подключение к параллельному контуру (либо к отдельному конденсатору или индуктивности) источника сигнала с внутренним сопротивлением R i , либо другого внешнего сопротивления, уменьшит его сопротивление.

Например если к контуру с сопротивлением R 0е = p 2 /r подключить источник сигнала с сопротивлением R і = R 0e , тогда эквивалентное сопротивление контура уменьшится в два раза (при )

Но это равносильно тому, что в контуре увеличилось сопротивление потерь r в два раза.

Следовательно между шунтирующим внешним сопротивлением и сопротивлением потерь существует обратно пропорциональная зависимость. Таким образом если к параллельному контуру подключено внешнее шунтирующее сопротивление R ш, то это равносильно включению дополнительного сопротивления последовательно с катушкой индуктивности, ухудшающего добротность контура.

Например есть контур у которого:

ρ = Х L =Х C =100 Ом, на частоте 1000кГц, и r =1Ом.

Тогда Q = ρ/2 =100, П = 2Δf = f 0 /Q =1000/100 =10Кгц

R 0e = ρ 2 /r = 10 кОм.

Если к этому контуру подключить источник сигнала (например антенну) с внутренним сопротивлением 1100 Ом, то это равносильно включению дополнительного сопротивления потерь.

Таким образом пропускание увеличилось в 10 раз. Если же теперь подключить антенну к отводу от 1/10 витков, то

При этом полоса почти не расширяется, но ослабляется входящий сигнал из-за падения напряжения на R і , при малом R вх.

Связанные колебательные контуры

Контуры называются связанными, если энергия одного из них через элемент связи передается во второй. Элементом связи может быть, например магнитное поле, которое пересекает обороты катушки двух колебаний контуров, такая связь называется трансформаторной.

Если в первый контур подавать сигнал (U) с частотой равной резонансным частотам этих контуров, то в первом контуре возникнет ток І 1 совпадающий с фазой U. Этот ток создает в катушке L 1 магнитный поток Ф, который пересекает витки катушки L 2 и вызовет в ней ЭДС взаимоиндукции U 1,2:

, т.к. , то , где М - взаимоиндуктивность.

Эта ЭДС вызовет ток І 2 совпадающий по фазе с U 1,2 (при резонансе R - активное). Ток І 2 вызовет ЭДС взаимоиндукции (U 2,1) катушки L 1 .

Эта ЭДС направленная против U, поэтому суммарное напряжение и ток І 1 уменьшается. Это равнозначно тому, что увеличилось сопротивление потерь R n1 в первом контуре. Таким образом, второй контур как бы вносит сопротивление в первый, причем тем большее, чем больше взаимоиндукция (М). Если частота сигнала не отвечает резонансным частотам контуров, то вносимое сопротивление будет иметь активную и реактивную составляющие.

Если f сигнала < f 0 контуров, то их сопротивление имеет емкостной характер. При этом токи в обоих контурах опережают напряжения.ЭДС U 2,1 можно представить активной и реактивной составляющими. Действие активной составляющей (U 2.1А)можно расценивать, как активное вносимое сопротивление. а реактивной (U 2 . 1 Р),как реактивное вносимое сопротивление.

Таким образом, реактивная составляющая направлена одинаково с ЭДС самоиндукции U, то они суммируются и это равносильно увеличению индуктивности, то есть увеличению индуктивного сопротивления катушки. Поэтому Х внес - индуктивное.

Если f С > f 0 контуров, то их сопротивление носит индуктивный характер, а токи в обоих контурах отстают от напряжений.

В этом случае ЭДС U 2,1 также имеет активную (U 2,1А) и реактивную (U 2,1 Р) составляющие, поэтому вносится активное и реактивное сопротивление. Причем реактивная составляющая направлена против ЭДС самоиндукции катушки L 1 , то есть уменьшит напряжение на ней, поэтому реактивное внесенное сопротивление имеет емкостной характер.

Кроме трансформаторной связи между контурами может быть автотрансформаторная связь, и связь за счет внутренней и внешней емкости.

При любом виде связи, связь осуществляется путем сопротивления связи.

При трансформаторной связи, сопротивление связи определяется взаимоиндуктивностью.

При индуктивной связи, сопротивление связи определяется катушкой связи.

При индуктивной внутриемкостной связи, сопротивление связи зависит от емкости связи.

Аналогично, при зовніємнісному связи.

При любом виде связи, степень связи количественно оценивается коэффициентом связи.

,

где Х св - реактивное сопротивление элемента связи. Х 1 , Х 2 - реактивное сопротивление элементов контуров, которые имеют такой же характер, как и Х св.

- Для трансформаторной связи:

.

- Для автотрансформаторной связи:

- Для внутриемкостной связи:

- Для внешнеемкостной связи:

Чем больше степень связи между контурами (К св), тем больше вносимые сопротивления. Так как вносимое сопротивление имеет иной характер, чем сопротивление контура при расстройке (при f < f 0 , X K - носит емкостный характер, Х внес - индуктивный и наоборот), то при увеличении К св на частотах отличных от резонансной, может выполняться условие Х внес - Х К = 0, то есть возникает резонанс.

Таким образом , на частоте ниже f 0 , сопротивление контура несет в себе емкостной характер, а Х внес - индуктивный и на некоторой частоте f 1 возникает резонанс (нижняя частота связи). А на частоте выше f 0 ,сопротивление контура несет в себе индуктивный характер, а вносимое - емкостный характер, и на f 2 может возникнуть еще один резонанс (верхняя частота связи). При этом, если увеличивать К св, то увеличивается Х внес и частоты связи изменяются (раздвигаются относительно f 0), а если К св уменьшашать, то и Х внес тоже уменьшается и тогда частоты связи сближаются к f 0 .

При некотором К св < К критич частоты связи (резонансы) вообще не возникают, так как Х внес < Х к.

При К св > К критич в форме АЧХ на f о появляется провал из-за того, что R внес возрастает и становится больше, чем R внес на частотах частотных резонансов. При К = К критич,R внес = R п1 . Это условие выполняется и на частотах связи.

Качественные показатели связанных контуров определяются в зависимости от того, какие требования предъявляются к ним.

Чаще всего от связанных контуров требуется обеспечить определенную полосу пропускания при высокой крутизне АЧХ. В связанных контурах П (полоса) определяется не только через f 0 и Q, а и через К св. При очень маленькой связи (К св < К критич) полоса связанных контуров меньше полосы одиночного контура почти в два раза. П св =0,64 П од (при К св << К критич).

При увеличении К св полоса расширяется и при К св =0,68К критич она равна полосе одиночного контура П св = П од (при К св =0,68К кр).

При К св = К св, П св = 1,41П од.

С увеличением К св,П расширяется и при провале в АЧХ связанных контуров до уровня 0,707 К св = 2,41К кр, а П св = 3,1П од.

Следовательно в отличие от одиночных контуров в связанных колебательных контурах можно регулировать П изменением К св.

Еще одним достоинством связанных контуров является более высокая крутизна скатов АЧХ. Это обьясняется тем, что ток второго контура зависит не только от f источника сигнала, но и от тока первого контура, который тоже уменьшается с изменением f.

В зависимости от настройки контуров различают первый частичный, второй частичный, а также полный и сложный резонанс.

Первый частичный резонанс наблюдается, если частота настройки первого контура совпадает с f источника сигнала, а частота второго не совпадает. В этом случае при расстройке первого контура ток его (І 1) уменьшается и потому уменьшается U 1,2 и ток второго контура (І 2) (f 01 зависит от f 02 , так как зависит от Х вн, которое зависит от f 02).

Второй частичный резонанс наблюдается, если f второго контура совпадает с f сигнала, a f первого не совпадает. Тогда при расстройке второго контура уменьшается І 2 , но и уменьшается и вносимое им сопротивление в первый контур, поэтому ток І 1 увеличивается.

Чтобы получить полный резонанс необходимо каждый контур в отдельности настроить на f сигнала, при очень малой связи между ними, а затем можно увеличивать К св до К св =К кр, при этом вносимые сопротивления будут незначительны и не появяются резонансы на частотах связи.

Только при полном резонансе можно добиться наибольшего КПД и наибольшей мощности во втором контуре. С увеличением К св увеличивается R вн, поэтому ток І 1 уменьшается.

С увеличением К св растает ЭДС взаимоиндукции U 1,2 , которая вызывает ток І 2 . Но при К св > К кр ток І 2 уменьшается т.к. ток І 1 тоже уменьшается, a R внес из первого во второй контур увеличивается

Электрические фильтры и их классификация

Электрический фильтр - это устройство пропускающее сигналы определенных частот.

Электрические фильтры обычно используются для выделения требуемых гармонических составляющих из несинусоидальных сигналов.

Частоты, которые фильтры пропускают (должны пропускать) без заметного ослабления, составляют полосу пропускания фильтра.

Частоты, которые фильтры не пропускают составляют полосу задерживания фильтра.

Частота разделяющая полосу пропускания и полосу задерживания называется частотой среза.

В зависимости от того какие частоты пропускает фильтр, различают фильтры низких и верхних частот, а также полосовые и ре-электронные фильтры.

Любой фильтр можно характеризовать либо коэффициентом , либо вносимым затуханием .

Причем в полосе пропускания коэффициент передачи должен быть максимальным и постоянным, а в полосе задерживания - минимальным (нулевым).

Все реальные фильтры не обеспечивают нулевого коэффициента передачи в полосе задерживания и постоянного коэффициента передачи в полосе пропускания.

Существует несколько различных видов фильтров. Например: RC, LC, CL, кварцевые, пьезоэлектрические, электромеханические и др.

Рассмотрим параллельный колебательный контур, простейшим видом которого является параллельное соединение индуктивной катушки и конденсатора (рис. 2.17, а).

Резонансом токов называют такой режим параллельного колеба­тельного контура, при котором ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением а мощность, потребляемая из сети, равна активной мощности контура. Реактивная мощность при резонансе из сети не потребляется. Векторная диаграмма цепи при резонансе токов, представленная на рис. 2.17,6, выполнена согласно уравнению

Комплекс эквивалентной полной проводимости параллельного коле­бательного контура

Так как при резонансе угол сдвига фаз между током I 0 и напря­жением U равен нулю, т. е. то при резонансеилиСледовательно, ток при резонансе токов

Таким образом, резонанс токов наступает в цепи при взаимной компен­сации токов реактивных проводимостей т. е. при взаимной компенсации индуктивной и реактивной емкостной проводимостей.

При резонансе токов эквивалентная полная проводимость контура Y минимальная т. е. входное сопротивлениедостигает максимума, вследствие чего ток, идущий от сети, при резонансе токов будет минимален и равен

При резонансе токов и, следовательно, равны между собой реактивные токикоторые находятся в этом случае в противофазе. При резонансе токов возможны ситуации, когда реактивные токинамного превышают суммарный ток в цепи, вследствие чего резонанс при параллельном соединении назы­ваютрезонансом токов . Это возможно при условии или

Отношение индуктивного или емкостноготоков при резонансе токов к суммарному токуназывается добротностью параллельного колебательного контура:

Затухание в параллельном контуре, как и в последовательном контуре, есть величина, обратная добротности:

Выразивчерез параметры цепи и частоту, определим резонансную частоту контура:

откуда найдем значение для резонансной угловой частоты:

(2.79)

В идеальном случае, например в радиотехнических устройствах, где применяют контуры с малыми потерями, когда практически (или они очень малы по сравнению с ρ), резонансную частотуможно определить, как и при резонансе в последовательном контуре, по формуле

Из формулы (2.79) видно, что резонанс токов возможен в цепи, если сопротивления r 1 и r 2 оба больше или оба меньше ρ ,ибо при невыполнении этого условия частотаокажется мнимой и, следовательно, в этом случае не существует частоты, при которой был бы резонанс. Прирезонансная частотарезонанс токов может наблюдаться при любой частоте, так как в этом случае эквивалентное сопротивление становится активным, не зависящим от частоты.

Так как при резонансе токов а значитто активная мощность Р равна полной мощности цепи, т. е.Реактивная мощностьQ при резонансе токов равна нулю:

Таким образом, при резонансе токов цепь не потребляет из сети реактивной энергии. Энергетические процессы, наблюдаемые в парал­лельном колебательном контуре, в этом случае аналогичны процессам, которые протекают при резонансе напряжений. В колебательном конту­ре происходит непрерывный взаимный обмен энергиями между емкост­ным и индуктивным элементами цепи, а сеть лишь компенсирует энергию, теряемую в активных сопротивлениях контура. Если бы параллельный колебательный контур состоял только из L и С, то его входное сопро­тивление при резонансе токов было бы бесконечно большим и ток из сети не поступал бы в контур, т. е. в этом случае энергия, сообщенная контуру при включении, не расходовалась бы, а периодически перека­чивалась от магнитного к электрическому полю (и обратно), т. е. между индуктивным и емкостным элементами цепи, причем эти колебания продолжались бы неограниченное время.

Основы > Теоретические основы электротехники

Резонанс в параллельном контуре

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: параметры одной - сопротивление и индуктивность L, а другой - сопротивление и емкость С (рис. 5.5). Такую цепь часто называют параллельным контуром . Резонанс наступает, если у входной проводимости

реактивная составляющая

Или

Реактивные проводимости ветвей.
При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны (рис. 5.6, а), поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов . Из векторной диаграммы видно, что при резонансе ток I на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях.

В теоретическом случае при токи и сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы и (рис. 5.6, б) и суммарный ток . Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико.
Подставив в соотношение (5.12), т. е. в условие резонанса, значения и , выраженные через параметры цепи и частоту, получим

Изменением одной из величин () при остальных четырех постоянных не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (5.13) получается мнимым или комплексным. Для L или С могут получаться и по два различных действительных значения, удовлетворяющих уравнению (5.13). В таких случаях изменением L и С можно достичь двух различных резонансных режимов.
Решив уравнение (5.13) относительно w , найдем следующее значение для резонансной угловой частоты:

Резонанс возможен, если сопротивления и оба больше или оба меньше r . Если же это условие не выполнено, получается мнимая частота , т. е. не существует такой частоты, при которой имел бы место резонанс.
При резонансная частота , т. е. такая же, как и при резонансе в последовательном контуре.
При резонансная частота имеет любое значение, т. е. резонанс наблюдается на любой частоте. Действительно, при входное сопротивление контура

т. е. входное сопротивление контура активное и не зависит от частоты. Следовательно, ток совпадает по фазе с напряжением при любой частоте и его действующее значение равно .
Заметим, что в радиотехнике и электросвязи часто применяются контуры с малыми потерями, т. е. в них и малы по сравнению с r . В таких условиях резонансную частоту можно вычислять по формуле

Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в общем случае сумма энергий электрического и магнитного полей при резонансе не остается постоянной. Эта сумма постоянна только в теоретическом случае, т. е. при .

Пример 5.2.
Угловая частота w и действующее значение I синусоидального тока, подводимого к цепи (рис. 5.7, а), поддерживаются неизменными. Емкость конденсатора без потерь изменяется до тех пор, пока при некотором значении С напряжение U, измеряемое вольтметром, не достигнет максимального значения U max . По известным величинам w , I , С, U max и R требуется определить параметры w L и r катушки, присоединенной к выводам 1 и 2.
Решение.
Проще всего задача решается путем преобразования схемы в эквивалентную, состоящую из переменного емкостного элемента с проводимостью , двух параллельно соединенных элементов - активной g , индуктивной проводимостей (рис. 5.7, в) и с источником тока подсоединенным к выводам 3 и 4.
В этой схеме при неизменном действующем токе и изменении емкости максимум напряжения, измеряемого вольтметром, будет наблюдаться при резонансе токов, так как входное сопротивление цепи при этом максимально.
В соответствии с намеченным путем решения приступаем к преобразованию схемы. Питание цепи (рис. 5.7, а) заданным током может рассматриваться как питание от источника тока (показан штриховой линией). Заменим источник тока источником ЭДС (рис. 5.7, б), а от источника ЭДС перейдем к новому источнику тока, подключенному к выводам 3 и 4. Ток этого источника

где .
Последовательное соединение элементов R, r и w L заменим параллельным (рис. 5.7, в) с проводимостями


Максимум напряжения между выводами 3 и 4 наблюдается при резонансе токов, т. е.


и


Из последнего равенства найдем связь между неизвестными g и z :


где для сокращения записи отношение известных величин обозначено a .
Подставив (б) и (в) в выражение , получим

откуда


Наконец, из (а) найдем, что